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Voûte d’arêtes

lundi 2 juin 2014, par Vincent

Ce document fait suite à une question d’un étudiant. Il s’agit de calculer l’aire de la surface résultant de l’intersection de deux
cylindres de rayon r et R dont l’empreinte au sol est un rectangle de dimension $2r \times 2R$.

Intersection de deux demi-cylindres
Avec l’empreinte

Le cas $R=r$

Lorsque $R=r$, l’aire se calcule facilement :

$8R^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}1-\cos(\theta)\text{d}\theta=4R^2(\pi-2).$

Lorsque $0, l’aire s’exprime à l’aide d’intégrales (cf doc).

Intersection de deux demi-cylindres.
Intersection de deux demi-cylindres. Calcul de surface.

Utilisation de sagemath

Le code suivant à importer dans votre sagemath cloud permet de visualiser et de calculer rapidement cette aire.

x,u,v=var('x','u','v')
@interact
def deuc(R=slider(0.1,5,0.1,4),r=slider(0.1,4,0.1,4)):
    if r>R:
        html('<h3>Attention $r$ doit être plus petit que $R$</h3>')
    else:
        
        fx=R*cos(u)
        fy=v
        fz=R*sin(u)
        gx=v
        gy=r*cos(u)
        gz=r*sin(u)
        
        show(parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, pi), (v, -R, R),frame=False,color="blue")+parametric_plot3d([gx, gy, gz], (u, 0, pi), (v, -R, R),frame=False,color="red"))
        
        html("<h3>L'aire de la voûte d'arête est donnée par:</h3>")
        html('\\[S=2rR\\pi-4R\\int_0^r\\text{arcsin}\\left(\\frac{r}{R}\\sqrt{1-\\left(\\frac{x}{r}\\right)^2}\\right)\\text{d}{x}+4r\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}R-\\sqrt{R^2-r^2\\sin^2(\\theta)}\\text{d}{\\theta}\]')
        
        
        f(x)=4*r*(R-sqrt(R^2-(r*sin(x))^2))
        g(x)=4*R*arcsin(r*sqrt(1-(x/r)^2)/R)
        
        
        a=f.nintegral(x,0,pi/2)[0]
        b=g.nintegral(x,0,r)[0]
        
        
        S=2*r*R*pi+a-b
        html('<h3>$S\simeq$'+str(N(S))+'.</h3>')
        if abs(r-R)<1e-14:
            
            html('Dans le cas où $R=r$ alors $S=4R^2(\pi-2)\simeq'+str(N(4*R^2*(pi-2)))+'$.')