\documentclass[10pt ,A5 ,DS ]{exo} \usepackage{txfonts} \begin{document} \begin{exercice} Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances. {\bf Partie A : question de cours.}\\ On suppose connus les résultats suivants : \begin{enumerate} \item deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et $u_n - v_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$; \item si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes telles que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante, alors pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}$, on a $u_n \leq v_n$ ; \item toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. \end{enumerate} Démontrer alors la proposition suivante : \begin{center} <<Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite>>. \end{center} {\bf Partie B}\\ On considère une suite $(u_n)$, définie sur $\mathbb{N}$ dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite $(v_n)$ sur $\mathbb{N}$ par $\displaystyle v_n=\cfrac{-2}{u_n}$. Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. \begin{enumerate} \item Si $(u_n)$ est convergente, alors $(v_n)$ est convergente. \item Si $(u_n)$ est minorée par $2$, alors $(v_n)$ est minorée par $-1$. \item Si $(u_n)$ est décroissante, alors $(v_n)$ est croissante. \item Si $(u_n)$ est divergente, alors $(v_n)$ converge vers zéro. \end{enumerate} \end{exercice} dsfds $\int_a^bf(t)d\textrm{t}$ \begin{exercice} Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés de la figure donnée en annexe. Cette annexe sera à rendre avec la copie. On munit le plan d'un repère orthonormal direct . Le quadrilatère $MNPQ$ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles $MRN$, $NSP$, $PTQ$ et $QUM$ sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère $MNPQ$ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respectivement les points $R$, $S$, $T$ et $U$). \begin{center} \includegraphics{../graphiques/I_1118961195.eps} \end{center} {\bf Partie A}\\ On désigne par $m$, $n$, $p$ et $q$, les affixes respectives des points $M$, $N$, $P$ et $Q$. \begin{enumerate} \item Soit $f$ la similitude directe de centre $M$ qui transforme $N$ en $R$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $f$. \item On désigne par $r$ l'affixe du point $R$. Démontrer que $\displaystyle r=\cfrac{1+i}{2}\,m+\cfrac{1-i}{2}\,n$, où $\i$ désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\cfrac{\pi}{2}$ (on pourra éventuellement utiliser l'écriture complexe de la similitude $f$). \end{enumerate} On admettra que l'on a également les résultats\\ $\displaystyle s=\cfrac{1+i}{2}\,n+\cfrac{1-i}{2}\,p$, $\displaystyle t=\cfrac{1+i}{2}\,p+\cfrac{1-i}{2}\,q$ et $\displaystyle u=\cfrac{1+i}{2}\,q+\cfrac{1-i}{2}\,m$ où $s$, $t$ et $u$ désignent les affixes respectives des points $S$, $T$ et $U$. \item Démontrer que les quadruplets $(M, N, P, Q)$ et $(R, S, T, U)$ ont le même isobarycentre. \item \begin{enumerate} \item Démontrer l'égalité $u - s = \i\,(t - r)$. \item Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments $[RT]$ et $[SU]$, d'une part, et pour les droites $(RT)$ et $(SU)$, d'autre part ? \end{enumerate} \end{enumerate} {\bf Partie B}\\ Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes. \begin{enumerate} \item Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu'il existe une unique rotation $g$ qui transforme $R$ en $S$ et $T$ en $U$. \item Décrire comment construire géométriquement le point $\Omega$, centre de la rotation $g$. Réaliser cette construction sur la figure de l'annexe. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} {\bf Partie A}\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $\displaystyle f(x)=\frac{3\,\e^{\frac{x}{4}}}{2+\e^{\frac{x}{4}}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\displaystyle f(x)=\cfrac{3}{1+2\e^{-\frac{x}{4}}}$ \item Étudier les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f$. \end{enumerate} {\bf Partie B}\\ \begin{enumerate} \item On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, est notée $g(t)$. On définit ainsi une fonction $g$ de l'intervalle $[0 ; + \infty [$ dans $\mathbb{R}$. La variable réelle $t$ désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour $g(t)$ est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour $g$ une solution, sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$, de l'équation différentielle $\displaystyle (E_1)~:\: y'=\cfrac{y}{4}$. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $(E_1)$. \item Déterminer l'expression de $g(t)$ lorsque, à la date $t = 0$, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire $g(0) = 1$. \item Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ? \end{enumerate} \item En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note $u(t)$ le nombre des rongeurs vivants au temps $t$ (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction $u$, ainsi définie, satisfait aux conditions : $\displaystyle (E_2)~:\:\left\lbrace \begin{array}{l} u'(t)=\cfrac{u(t)}{4}-\cfrac{{u(t)}^2}{12} \\ u(0)=1 \\ \end{array} \right .$ pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$. \begin{enumerate} \item On suppose que, pour tout réel positif $t$, on a $u(t) > 0$. On considère, sur l'intervalle $[0 ; + \infty [$, la fonction $h$ définie par $\displaystyle h(t)=\cfrac{1}{u}$. Démontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions $(E_2)$ si et seulement si la fonction $h$ satisfait aux conditions $(E_3)~:\:\left\lbrace \begin{array}{l} h'(t)=-\cfrac{1}{4}\,h(t)+\cfrac{1}{12} \\ h(0)=1 \\ \end{array} \right .$ pour tout nombre réel t positif ou nul, où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$. \item Donner les solutions de l'équation différentielle $y'=-\cfrac{1}{4}\,y+\cfrac{1}{12}$ et en déduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de la fonction $u$. \item Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercice} \end{document}