\documentclass[10pt ,A4R ,DS ]{exo} \usepackage{txfonts} \begin{document} \begin{exercice} {\bf Commun à tous les candidats } \medskip Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci -dessous, pr\'eciser si elle est vraie ou fausse. \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le num\'ero de la question et la mention \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{}.} \medskip Une r\'eponse correcte rapporte $0,5$~point, une r\'eponse incorrecte enl\`eve $0,25$~point, l'absence de r\'eponse ne rapporte ni n'enl\`eve de points. Un \'eventuel total n\'egatif sera ramen\'e \`a z\'ero. \begin{enumerate} \item \og Si $a$ est un nombre r\'eel quelconque et $f$ une fonction d\'efinie et strictement d\'ecroissante sur~$]a~;~+\infty[$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ \fg{}. \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies sur~$[0~;~+ \infty[$, $g$ ne s'annulant pas: \og Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ et si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = - 1$ \fg{}. \item \og Si $f$ est une fonction d\'efinie sur~$[0~;~+ \infty[$ telle que $ 0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{x}$ sur $[0~;~+ \infty[$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ \fg{}. \item On consid\`ere un rep\`ere~$(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ du plan. \og Si $f$ est une fonction d\'efinie sur~$\R^*$ alors la droite d'\'equation~$x = 0$ est asymptote \`a la courbe repr\'esentative de~$f$ dans le rep\`ere~$(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ \fg{}. \item \og La fonction~$f$ d\'efinie sur~$\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 3x + 1\right)\e^x$ est une solution sur~$\R$ de l'\'equation diff\'erentielle~$y' - y = \left(2x + 3\right)\e^x$ \fg{}. \item Soient $A$, $B$, $C$ trois points du plan. On appelle $I$ le barycentre des points~$A$ et~$B$ affect\'es respectivement des coefficients~3 et~$-2$. \og Si $G$ est le barycentre des points~$A$, $B$ et~$C$ affect\'es respectivement des coefficients~3, $- 2$ et~$1$ alors $G$ est le milieu du segment~$[CI]$ \fg{}. \item Soient $A$, $B$, $C$ trois points du plan et $G$ le barycentre de $A$, $B$ et~$C$ affect\'es respectivement des coefficients~$3$, $-2$ et~$1$. \og L'ensemble des points~$M$ du plan tels que $\|3\vect{MA} - 2\vect{MB} + \vect{MC}\| = 1$ est le cercle de centre~$G$ et de rayon~1 \fg{}. \item Soient $A$ et~$B$ deux points distincts du plan. On d\'esigne par~$M$ un point quelconque du plan. \og Le produit scalaire~$\vect{MA} \cdot \vect{MB}$ est nul si et seulement si~$M = A$ ou~$M = B$ \fg{}. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} {\bf Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct~$(O;\vec{u};\vec{v})$. Unit\'e graphique : 0,5~cm. \medskip On note~j le nombre complexe $\e^{\i\frac{2\pi}{3}}$. On consid\`ere les points~$A$, $B$ et~$C$ d'affixes respectives $a = 8$, $b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$. \smallskip Soit $A'$ l'image de~$B$ par la rotation de centre~$C$ et d'angle~$\dfrac{\pi}{3}$. \smallskip Soit $B'$ l'image de~$C$ par la rotation de centre~$A$ et d'angle~$\dfrac{\pi}{3}$. \smallskip Soit $C'$ l'image de~$A$ par la rotation de centre~$B$ et d'angle~$\dfrac{\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Placer les points~$A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$ et~$C'$ dans le rep\`ere donn\'e. \item On appelle $a'$, $ b'$ et~$c'$ les affixes respectives des points~$A'$, $B'$ et~$C'$. \begin{enumerate} \item Calculer $a'$. On v\'erifiera que $a'$ est un nombre r\'eel. \item Montrer que $b' = 16\e^{-\i\frac{\pi}{3}}$. En d\'eduire que $O$ est un point de la droite~$(BB')$. \item On admet que $c' = 7 + 7\i\sqrt{3}$. Montrer que les droites~$(AA')$, $(BB')$ et~$(CC')$ sont concourantes en~$O$. \end{enumerate} \item On se propose d\'esormais de montrer que la distance~$MA + MB + MC$ est minimale lorsque~$M = O$. \begin{enumerate} \item Calculer la distance~$OA + OB + OC$. \item Montrer que $\text{j}^3 = 1$ et que $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. \item On consid\`ere un point~$M$ quelconque d'affixe~$z$ du plan complexe. On rappelle que $a = 8$, $b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$. D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes les \'egalit\'es suivantes : \[ \left|(a - z) + (b - z)\text{j}^2 + (c - z)\text{j}\right| = \left|a + b\text{j}^2 + c\text{j}\right| = 22\,. \] \item On admet que, quels que soient les nombres complexes~$z$, $z'$ et~$z''$ : \[\left|z + z' + z''\right| \leqslant |z| + \left|z'\right| + \left|z''\right|\,.\] Montrer que $MA + MB + MC$ est minimale lorsque~$M = O$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} \begin{center}\textbf{Tableau d'informations n}\boldmath $\textsuperscript{o} 1$.\unboldmath \vspace{0,3cm} \begin{pspicture}(11,3) \psframe(0,0)(11,3) \psline(0,1)(11,1) \psline(0,2)(11,2) \psline(3,0)(3,3) \psline(5,0)(5,2) \psline(7,0)(7,2) \psline(9,0)(9,2) \uput[u](1.5,2){$x$} \uput[u](3.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$- 1$} \uput[u](7,2){$\cfrac{1}{2}$} \uput[u](9,2){$2$} \uput[u](10.5,2){$+\infty$} \uput[u](1.5,1.2){Signe de $u(x)$} \uput[u](4,1.2){$+$} \uput[u](5,1.2){$0$} \uput[u](6,1.2){$-$} \uput[u](8,1.2){$-$} \uput[u](9,1.2){$0$} \uput[u](10,1.2){$+$} \uput[u](1.5,0.2){Signe de $u'(x)$} \uput[u](4,0.2){$-$} \uput[u](6,0.2){$-$} \uput[u](7,0.2){$0$} \uput[u](8,0.2){$+$} \uput[u](10,0.2){$+$} \end{pspicture} \end{center} \noindent Le tableau d'informations n$\textsuperscript{o} 1$ ci-dessus fournit des informations sur une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$. \begin{enumerate} \item Établir un tableau des variations de la fonction $u$. On considère maintenant les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = \ln [u(x)]$ et $g(x) = \text{e}^{u(x)}$ o\`u $u$ désigne la fonction de la question précédente. \item \begin{enumerate}\item Une des deux affirmations suivantes est fausse, laquelle ? Justifier en précisant le bon ensemble de définition : Affirmation 1 : « La fonction $f$ est définie sur $\R$ » ; Affirmation 2 : « La fonction $g$ est définie sur $\R$ ». \item Donner les variations des fonctions $f$ et $g$. Énoncer le(s) théorème(s) utilisé(s). \item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to 2 \atop x > 2} f(x)$ \item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 1$. \end{enumerate} \item Voici d'autres informations relatives à la fonction $u$ et à sa dérivée $u'$. \begin{center}\textbf{Tableau d'informations n}\boldmath $\textsuperscript{o} 2$.\unboldmath \end{center} \[\begin{array}{|*{6}{c|}}\hline x& -2& 0 & \cfrac{1}{2}& 2& 3\\ \hline ~~u(x)~~& ~~4~~& ~~-2~~& ~~- \cfrac{9}{4}~~& ~~0~~& ~~4~~\\ \hline u '(x) & -5& 1 & 0 & 3& 5\\ \hline \end{array}\] Terminer chacune des deux phrases \textbf{a.} et \textbf{b.} par la réponse qui vous semble exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre choix. \begin{enumerate}\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 2 est parallèle : \begin{center}\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline $\bullet~$ \`a l'axe des abscisses &$\bullet~$ à la droite d'équation& $\bullet~$ à la droite d'équation \\ & $y = x$& $y = 3x$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Le nombre $f'(-2)$ : \begin{center}\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline $\bullet~$ n'existe pas&$\bullet~$ vaut $- 20$&$\bullet~$ vaut $- \cfrac{4}{5}$&$\bullet~$ vaut $-\cfrac{5}{4}$&$\bullet~$ vaut $\cfrac{5}{4}$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercice} \end{document}