\documentclass[10pt ,A4 ]{exo} \usepackage{txfonts} \begin{document} \begin{exercice} On consid\`ere la suite $\left(u_n\right)$ d\'efinie par \[\left\{\begin{array}{l cl} u_0&=&1\\ u_{n+1}& =& u_n +2n + 3\quad \text{pour tout entier naturel} \quad n.\\ \end{array} \right.\] \begin{enumerate} \item \'Etudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$. \item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_n > n^2$. \item Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? \end{enumerate} \item Conjecturer une expression de $u_n$, en fonction de $n$, puis d\'emontrer la propri\'et\'e ainsi conjectur\'ee. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a la r\'eponse choisie. Aucune justification n'est demand\'ee. Une r\'eponse exacte rapporte 1 point ; une r\'eponse inexacte enl\`eve 1/2 point l'absence de r\'eponse est compt\'ee 0 point. Si le total est n\'egatif, la note est ramen\'ee \`a 0. Dans l'espace rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal \oijk, on donne le point S$(1 ~;~ - 2~;~ 0)$ et le plan P d'\'equation $x + y - 3z + 4 = 0$. \begin{enumerate} \item Une repr\'esentation param\'etrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est : \[\text{A} : \left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 + t\\ y &= &1 - 2t\\ z&=&-3\\ \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \text{B} : \left\{\begin{array}{l c l} x&= &2 + t\\ y &= &-1 + t\\ z&= & 1 - 3t \end{array}\right.,~ t \in \R\] \[ \quad \text{C} : \left\{\begin{array}{l c l} x&= &1+t\\ y&=&-2 - 2t\\ z&=&3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \text{D} : \left\{\begin{array}{l c l} x&=&2 + t\\ y&=&-1 + t\\ z&=&-3 - 3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R.\] \item Les coordonn\'ees du point d'intersection H de la droite D avec le plan P sont : \[\text{A} : (-4~;~0~;~0) \quad \text{B} : \left(\cfrac{6}{5}~;~\cfrac{-9}{5}~;~\cfrac{3}{5} \right) \quad \text{C} : \left(\cfrac{7}{9}~;~\cfrac{-2}{3}~;~\cfrac{1}{3} \right) \quad \text{D} ; \left(\cfrac{8}{11}~;~\cfrac{-25}{11}~;~\cfrac{9}{11}\right)\] \item La distance du point S au plan P est \'egale \`a : \[\text{A} : \cfrac{\sqrt{11}}{3} \qquad \text{B} : \cfrac{3}{\sqrt{11}} \qquad \text{C} : \cfrac{9}{\sqrt{11}} \qquad \text{D} : \cfrac{9}{11}\] \item On consid\`ere la sph\`ere de centre S et de rayon 3. L'intersection de la sph\`ere S et du plan P est \'egale A : au point I$(1 ~;~-5~;~0)$ B : au cercle de centre H et de rayon $r = 3\sqrt{\cfrac{10}{11}}$ C : au cercle de centre S et de rayon $r = 2$ D : au cercle de centre H et de rayon $r = \cfrac{3\sqrt{10}}{11}$. \end{enumerate} \end{exercice} \end{document}