\documentclass[10pt ,A5 ,DS ]{exo} \usepackage{txfonts} \begin{document} \begin{exercice}{\bf BAC Pondichery 2005} Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. L'appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour. Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l'une des deux formules d'entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l'appartement en fin de séjour par le personnel d'entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d'entretien). Le gestionnaire a constaté que : 60 \% des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci 20 \% ne souscrivent aucune formule d'entretien ; La formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par 45 \% des locataires de studio et par 55 \% des locataires de deux-pièces ; 18 \% des locataires ne souscrivent aucune formule. On rencontre un résident au hasard. Soit S l'événement « Le résident a loué un studio »\\ A l'événement « Le résident a souscrit la formule Simple »\\ B l'événement « Le résident a souscrit la formule Confort »\\ R l'événement « Le résident n'a souscrit aucune formule d'entretien » \begin{enumerate*} \item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. \item \begin{enumerate*} \item Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ? \item Calculer $\P_{S}(B)$. \end{enumerate*} \item \begin{enumerate*} \item Calculer $\p(R\cap S)$ ; en déduire $\p(R \cap \overline{S})$ . \item Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu'il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15. \end{enumerate*} \item Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation. \item La location d'un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d'un deux-pièces 480 euros. La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros. \item Soit $L$ le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs $L$;. On désigne par $\p_i$ la probabilité que le coût de la semaine soit égal à $L$. \begin{enumerate*} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. \begin{tabular}[h]{|*7{c|}} \hline L& 350& 370 & 390 & 480& 500& 520\\\hline $\p_i$& 0,12& & 0,21 & & &0,12\\\hline \end{tabular} \item Calculer l'espérance de $L$. En donner une interprétation. \end{enumerate*} \end{enumerate*} \end{exercice} \begin{exercice} \begin{center}\textbf{Tableau d'informations n}\boldmath $\textsuperscript{o} 1$.\unboldmath \vspace{0,3cm} \begin{pspicture}(11,3) \psframe(0,0)(11,3) \psline(0,1)(11,1) \psline(0,2)(11,2) \psline(3,0)(3,3) \psline(5,0)(5,2) \psline(7,0)(7,2) \psline(9,0)(9,2) \uput[u](1.5,2){$x$} \uput[u](3.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$- 1$} \uput[u](7,2){$\cfrac{1}{2}$} \uput[u](9,2){$2$} \uput[u](10.5,2){$+\infty$} \uput[u](1.5,1.2){Signe de $u(x)$} \uput[u](4,1.2){$+$} \uput[u](5,1.2){$0$} \uput[u](6,1.2){$-$} \uput[u](8,1.2){$-$} \uput[u](9,1.2){$0$} \uput[u](10,1.2){$+$} \uput[u](1.5,0.2){Signe de $u'(x)$} \uput[u](4,0.2){$-$} \uput[u](6,0.2){$-$} \uput[u](7,0.2){$0$} \uput[u](8,0.2){$+$} \uput[u](10,0.2){$+$} \end{pspicture} \end{center} \noindent Le tableau d'informations n$\textsuperscript{o} 1$ ci-dessus fournit des informations sur une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$. \begin{enumerate} \item Établir un tableau des variations de la fonction $u$. On considère maintenant les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = \ln [u(x)]$ et $g(x) = \text{e}^{u(x)}$ o\`u $u$ désigne la fonction de la question précédente. \item \begin{enumerate}\item Une des deux affirmations suivantes est fausse, laquelle ? Justifier en précisant le bon ensemble de définition : Affirmation 1 : « La fonction $f$ est définie sur $\R$ » ; Affirmation 2 : « La fonction $g$ est définie sur $\R$ ». \item Donner les variations des fonctions $f$ et $g$. Énoncer le(s) théorème(s) utilisé(s). \item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to 2 \atop x > 2} f(x)$ \item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 1$. \end{enumerate} \item Voici d'autres informations relatives à la fonction $u$ et à sa dérivée $u'$. \begin{center}\textbf{Tableau d'informations n}\boldmath $\textsuperscript{o} 2$.\unboldmath \end{center} \[\begin{array}{|*{6}{c|}}\hline x& -2& 0 & \cfrac{1}{2}& 2& 3\\ \hline ~~u(x)~~& ~~4~~& ~~-2~~& ~~- \cfrac{9}{4}~~& ~~0~~& ~~4~~\\ \hline u '(x) & -5& 1 & 0 & 3& 5\\ \hline \end{array}\] Terminer chacune des deux phrases \textbf{a.} et \textbf{b.} par la réponse qui vous semble exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre choix. \begin{enumerate}\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 2 est parallèle : \begin{center}\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline $\bullet~$ \`a l'axe des abscisses &$\bullet~$ à la droite d'équation& $\bullet~$ à la droite d'équation \\ & $y = x$& $y = 3x$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Le nombre $f'(-2)$ : \begin{center}\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline $\bullet~$ n'existe pas&$\bullet~$ vaut $- 20$&$\bullet~$ vaut $- \cfrac{4}{5}$&$\bullet~$ vaut $-\cfrac{5}{4}$&$\bullet~$ vaut $\cfrac{5}{4}$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercice} gdfg gd gdfg d $\frac{!!x+4}{x^2+1!}$ \includegraphics{../graphiques/I_1147045515.eps} \end{document}